气柜结构稳定性的能量准则认为在变形结构及其外荷载的力学系统中必定存在总
势能Π，某一状态对于所有相邻状态其总势能Π的值为最小，则该状态为稳定的
平衡状态。
一般地，如果结构是在比例荷载作用下的保守系统，经离散后结构可由 N 个
广义坐标 u(i 1,2,N)
i
L
= 和荷载参数λ 描述，荷载参数λ 与参考荷载向量
ref
P 一起
构成作用于结构的荷载向量。对于任意λ ，结构具有相应的总势能。总势能由内
力势能即应变能和外力势能组成，令结构的总势能为：
( ,λ)
i
Π=Πu
（4－1）
根据总势能驻值原理，结构平衡的充要条件为：
δΠ=0
（4－2）
即结构如果满足由上式导出的 N 个平衡方程，则结构处于平衡状态。而结构
平衡状态的稳定性则与总势能的二阶或更高阶变分有关。
当结构在某一平衡状态 ( ,λ)
i
u 附近受到任意微小扰动时，结构总势能 Π 产生
的增量为：
( ,λλ)(,λ)
iii
ΔΠ=Πu +Δu+Δ Πu
（4－3）
总势能增量ΔΠ 可以展开成如下级数形式：
L
ΔΠ=Π+Π+Π+Π+
234
δδδδ
（4－4）
由于结构处于平衡状态，总势能取极值，即总势能的一阶变分 δ Π=0。如果
结构总势能的二阶变分 0
2
δ Π>，则总势能增量 ΔΠ >0，即总势能有极小值。则
结构的平衡状态 ( ,λ)
i
u 是稳定的平衡状态；如果结构总势能的二阶变分 0
2
δ Π<，
则总势能增量 ΔΠ <0，即总势能有极大值，结构的平衡状态 ( ,λ)
i
u 是不稳定的平
衡状态；而如果总势能的二阶变分 0
2
δ Π=，则结构处于从稳定的平衡状态向不稳
定的平衡状态过渡的临界状态。由于 δ Π=0、 0
2
δ Π=，要在临界状态的无限小邻
域内研究结构平衡的稳定性能，就必须考虑总势能的三阶、四阶或更高阶变分的
符号。
当采用有限单元法分析结构的稳定性能时，需将结构离散为有限个单元的集
合，每个单元的总势能等于单元应变能和外力势能之和，即：
（4－5）
其中：
{ }
e
u DD单元的结点位移
{ }
ref
P DD参考结点荷载向量
λ DD荷载参数
{ε }DD单元应变向量，它可以通过几何方程用单元结点位移表示为：
{ } ([ ] [ ]){ }
LNLe
ε=B +Bu
（4－6）
将单元应变代入总势能表达式可得由单元结点位移和荷载参数表示的单元总
势能
{ }
( ,λ)
ee
Π u，而结构的总势能为所有单元势能之和为
Π=∑Π
e
（4－7）
由结构总势能一阶变分 δ Π=0得结构增量平衡条件为：
[ ]{ } { }
Π=Δ Δ=0
Tref
δK uλP
(4－8)
其中：
{ }
Δ uDD结点位移增量
Δ λDD荷载参数增量
[ ]
T
K DD结构的切线刚度矩阵
而结构所处的这个平衡状态是否稳定可根据总势能的二阶变分 0
2
δ Π=来判
断， Π
2
δ 可表示为结点位移增量的二次型，即：
{ } [ ]{ } { } { }
1
2
TTe e e ref e
v
Π = U + W = ε D ε dv λP u
∫{ } [ ]{ }
uKu
T
T
Π =(Π)=ΔΔ
2
δδδ
（4－9）
根据结构稳定性的能量准则，总势能的二阶变分 Π
2
δ 的符号决定结构平衡的
稳定性，那么如果结构的切线刚度矩阵
[ ]
T
K 为正定矩阵，则对于任意的位移增量
{ }
Δ u，二次型
{ } [ ]{ }
0
2
Π =ΔuKΔu>
T
T
δ ，结构处于稳定的平衡状态；反之，如果结
构的切线刚度矩阵
[ ]
T
K 为负定矩阵，则对任意位移增量
{ }
Δu ，二次型
{ } [ ]{ }
0
2
Π =ΔuKΔu<
T
T
δ ，结构处于不稳定的平衡状态；另外，如果结构的切线刚
度矩阵为半正定或半负定矩阵，二次型
{ } [ ]{ }
0
2
Π =ΔuKΔu=
T
T
δ ，结构处于临界状
态，此时 =0
T
K 。
可见，在有限单元法中，结构的稳定性是由其切线刚度矩阵的正定性决定的，
因此结构切线刚度矩阵行列式
T
K 以及切线刚度矩阵的最小特征值
1
γ 是结构稳定
性最简单而方便的判别条件。
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