威金斯气柜结构的线性屈曲分析以小位移线性理论假定为基础,在结构受荷载变形过程
中忽略结构构形的变化,结构平衡始终是建立在结构的初始构形之上,当结构发
生屈曲时,结构构形突然跳到另一个平衡位置(分枝点失稳)。严格来说,一个受
荷载作用的结构仅在变形后的位置上才可能处于平衡状态,从开始加载就存在几
何非线性的影响。但在实际工程中不少结构的屈曲接近于线性分枝屈曲,线性屈
曲分析在一定程度上能反应结构的稳定性能,可以为非线性屈曲分析提供一定的
参考数据。
根据失稳的定义,结构屈曲时,荷载增加一个微量,其位移发生较大变化,
因此结构的增量有限元平衡方程的全拉格朗日列式为:
([ ] [ ] [ ]){ } { }
0
0
K+ K+KΔu=
L σ
式中:[ ]
0
K —单元弹性刚度矩阵,[ ]
L
K —单元初应变刚度矩阵,[ K]
σ
—单元初应
力刚度矩阵,{ Δ u}—节点位移增量。
如前所述,结构屈曲时上述方程中
{ }
Δ u必有不平凡解,要求:
[ ] [ ] [ ]
0
0
++=
σ
KKK
L
(4-11)
结构的线性屈曲分析假设屈曲前结构处于初始构形平衡状态,因此式(4-11)
中的大位移矩阵
[ ]
L
K 应为零;而在小位移情况下,
[ ]
σ
K 与应力水平成正比,应力
与外荷载也为线性关系,如果
[ ]
ref
P
K
σ
为参考荷载
ref
P 对应的初应力矩阵,
cr
λ 为屈曲
时的荷载参数,即
crcrref
P = λP,则屈曲时结构的初应力矩阵可表示为:[ ] [ ]
ref
P
cr
KK
σσ
=λ
(4-12)
因此经典线性稳定理论的控制方程为:
[ ] [ ]
+=0
ref
P
cr
KK
σσ
λ
显然,这是一个广义特征值问题,可以使用各种求解方法解得其各阶特征值
即为结构屈曲的临界荷载参数,对应的特征向量即为相应的各阶屈曲模态,当然
我们最感兴趣的是最低阶的屈曲荷载和屈曲模态。本文中采用前述的子空间迭代
法进行求解。