临界点的确定包括临界点类型的判别和临界点位置的确定。
一般地,对于平衡路径上的某一点,如果结构切线刚度矩阵的行列式
T
K 或
最小特征值γ 发生变号,表明平衡路径上该点和上一点之间存在临界点。如果该
临界点为极值点,则根据极值点失稳的特点及柱面弧长法的迭代策略,随后的增
量步必为反向加载;如果该临界点为分枝点,情况则相反,柱面弧长法将跟踪结
构的基本平衡路径,随后的增量步应为同向加载。
如果经判断结构发生极值点失稳,可以继续采用柱面弧长法对结构的平衡路
径进行全过程跟踪,而简单地将平衡路径的最高点作为结构失稳的临界荷载,只要步长选择适当,对于实际工程,其精度是可以接受的。
如果判定临界点为分枝点,为了对分枝路径进行跟踪须进行路径转换,此时
必须确定较为精确的临界点位置。为此,在分枝点附近应对弧长加以控制,既要
使路径的跟踪能充分靠近分枝点,又要注意避免由于切线刚度矩阵过分病态而造
成的平衡路径的振荡和偏离或沿基本路径越过分枝点。
逼近分枝点可以采用线性外推算法。取η和γ 分别为路径参数和临界点指示参
数,指示参数γ 为η的函数 γ (η),且随着向临界点的逼近而逐渐消去,在临界点处
γ =0,常用的指示参数有切线刚度矩阵行列式的值
T
K 。切线刚度矩阵的最小特
征值γ 等。线性外推法假定 γ (η)能展开为:
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
i i i
γ η = γ η + γ η Δ η + γ η Δ η+
& && L (4-37)
略去高阶项,并考虑到在临界点处 γ =0,可得:
( )
( )
i
i
i
γ η
η
γ η
Δ =
&
(4-38)
为简化计算,采用其差分形式:
1
1
( ) ( )
( )
i i
i
i
γ η γ η
γ η
η
=
Δ
& (4-39)