临界点的确定包括临界点类型的判别和临界点位置的确定。
一般地，对于平衡路径上的某一点，如果结构切线刚度矩阵的行列式
T
K 或
最小特征值γ 发生变号，表明平衡路径上该点和上一点之间存在临界点。如果该
临界点为极值点，则根据极值点失稳的特点及柱面弧长法的迭代策略，随后的增
量步必为反向加载；如果该临界点为分枝点，情况则相反，柱面弧长法将跟踪结
构的基本平衡路径，随后的增量步应为同向加载。
如果经判断结构发生极值点失稳，可以继续采用柱面弧长法对结构的平衡路
径进行全过程跟踪，而简单地将平衡路径的最高点作为结构失稳的临界荷载，只要步长选择适当，对于实际工程，其精度是可以接受的。
如果判定临界点为分枝点，为了对分枝路径进行跟踪须进行路径转换，此时
必须确定较为精确的临界点位置。为此，在分枝点附近应对弧长加以控制，既要
使路径的跟踪能充分靠近分枝点，又要注意避免由于切线刚度矩阵过分病态而造
成的平衡路径的振荡和偏离或沿基本路径越过分枝点。
逼近分枝点可以采用线性外推算法。取η和γ 分别为路径参数和临界点指示参
数，指示参数γ 为η的函数 γ (η)，且随着向临界点的逼近而逐渐消去，在临界点处
γ =0，常用的指示参数有切线刚度矩阵行列式的值
T
K 。切线刚度矩阵的最小特
征值γ 等。线性外推法假定 γ (η)能展开为：
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2
i i i
γ η = γ η + γ η Δ η + γ η Δ η+
& && L （4－37）
略去高阶项，并考虑到在临界点处 γ =0，可得：
( )
( )
i
i
i
γ η
η
γ η
Δ =
&
（4－38）
为简化计算，采用其差分形式：
1
1
( ) ( )
( )
i i
i
i
γ η γ η
γ η
η
=
Δ
& （4－39）
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