在实际工程中应用的气柜,往往具有很大的体积。要对如此具有大量自由度
的复杂结构体系进行非线性有限元分析,理论表达式的精确化是保证迭代计算收
敛和计算结果正确的必要条件。由于非线性有限元分析方法的历史发展过程所形
成的状况,迄今所采用的刚度矩阵大都是一种近似的形式,在刚度矩阵的推导过
程中,为了便于多项式的乘方和积分等运算,大都忽略了位移的二次或三次以上
的高阶项。为此,本文采用的刚度矩阵以超越函数来表示的,对位移的高阶项没
有任何省略,可以认为是精确的。
为了研究结构屈曲前、后的性能,必须研究全过程的平衡路径。屈曲前的反
应分析并不十分复杂。它只是一个常规的非线性迭代问题,目前这一课题的研究
已经非常成熟了;相比之下,屈曲后的路径跟踪则要复杂的多。问题的难点在于
临界点附近刚度矩阵接近奇异,迭代难于收敛,具有大量自由度的复杂结构体系
更是如此。
对于大型复杂结构的全过程分析,一整套的精确化理论及有效的计算方法固
然是非常重要的,迭代策略及一些计算参数的合理选择也必须给予充分重视。
1. 柱面弧长法
等弧长法是跟踪结构平衡路径全过程的一种行之有效的方法,最初由 Riks 和
Wempner 提出,继而由 Crisfield 和 Ramm 等人加以改进和发展,目前已成为结构
非线性稳定分析中的主要方法。Crisfields 提出的柱面弧长法是目前最流行最有效
的等弧长法。
在结构的非线性有限元分析过程中,任意时刻的平衡方程都可以写成形式
0
t t t t
R F
+Δ +Δ
=
(4-14)
其中, R
t +Δt
, F
t +Δt
分别为 t + Δt时刻外部所施加的结点荷载向量和相应的杆
件结点内力向量。
如果在迭代过程中采用改进的牛顿法(Modified Newton Raphson Method),且假定荷载与结构变形无关,则方程式(4-14)可以表示为增量形式
( )+Δ+Δ( 1)
Δ=
titttti
KURF
(4-15)
其中, K
t
是 t 时刻结构的切线刚度矩阵,
(i)
ΔU 是当前位移的迭代增量
tt( i)tt(i1)(i)
U =U+ΔU
+Δ+Δ
(4-16)
在分析中假定结构按比例加载,这时方程式(4-15)又可以写成
( )+Δ()+Δ( 1)
Δ=
tittitti
K UλRF
(4-17)
其中,
t t ( i)
λ
+Δ
是荷载比例系数,R 是荷载分布向量。
应用 Batoz 和 Dhatt 的两个位移向量同时求解技术,可以将方程写成下列两个
方程:
( )+Δ( 1)+Δ( 1)
Δ=
tittitti
K UλRF
(4-18)
KUR
ti
Δ=
()
(4-19)
其中
( i)(i)(i)(i)
ΔU =ΔU+ΔλΔU
tt( i)tt(i1)(i)
U =U+ΔU
+Δ+Δ
(4-20)
tt( i)tt(i1)(i)
λ =λ+Δλ
+Δ+Δ
由于方程(4-18)~(4-20)含有(N+1)个未知数
(i)
ΔU 和
(i)
Δλ ,而只有 N
个线性方程组,因此还需要给出一个含有这些未知数的约束方程
(,)0
()()
ΔΔ=
ii
f λU
(4-21)
如果将λ 和 U 的平方和作为变量,则可以得到等弧长法的约束方程,其约束
方程的一般形式为:
{( )} { } { }
{ } { } { }
2
( 1) ( ) ( ) ( ) 2
( ) ( )
T
t t i t i i i
i t t i t
U U l
U U U
α λ λ λ
+Δ
+Δ
+ Δ + Δ Δ = Δ
Δ =
(4-22)
其中: t , t+Δt表示增量步, i, i 1表示迭代步。
选取不同的系数α 将得到不同的等弧长法,取α 为零,等弧长法的控制方程变
为:
{ } { }
{ } { } { }
( ) ( ) 2
( ) ( )
T
i i
i t t i t
U U l
U U U
+Δ
Δ Δ = Δ
Δ =
(4-23)
此时,迭代将沿着半径为 Δ l的空间柱面进行的,因此该方法被称为柱面等弧
长法,。