在实际工程中应用的气柜，往往具有很大的体积。要对如此具有大量自由度
的复杂结构体系进行非线性有限元分析，理论表达式的精确化是保证迭代计算收
敛和计算结果正确的必要条件。由于非线性有限元分析方法的历史发展过程所形
成的状况，迄今所采用的刚度矩阵大都是一种近似的形式，在刚度矩阵的推导过
程中，为了便于多项式的乘方和积分等运算，大都忽略了位移的二次或三次以上
的高阶项。为此，本文采用的刚度矩阵以超越函数来表示的，对位移的高阶项没
有任何省略，可以认为是精确的。
为了研究结构屈曲前、后的性能，必须研究全过程的平衡路径。屈曲前的反
应分析并不十分复杂。它只是一个常规的非线性迭代问题，目前这一课题的研究
已经非常成熟了；相比之下，屈曲后的路径跟踪则要复杂的多。问题的难点在于
临界点附近刚度矩阵接近奇异，迭代难于收敛，具有大量自由度的复杂结构体系
更是如此。
对于大型复杂结构的全过程分析，一整套的精确化理论及有效的计算方法固
然是非常重要的，迭代策略及一些计算参数的合理选择也必须给予充分重视。
1. 柱面弧长法
等弧长法是跟踪结构平衡路径全过程的一种行之有效的方法，最初由 Riks 和
Wempner 提出，继而由 Crisfield 和 Ramm 等人加以改进和发展，目前已成为结构
非线性稳定分析中的主要方法。Crisfields 提出的柱面弧长法是目前最流行最有效
的等弧长法。
在结构的非线性有限元分析过程中，任意时刻的平衡方程都可以写成形式
0
t t t t
R F
+Δ +Δ
=
（4－14）
其中， R
t +Δt
， F
t +Δt
分别为 t + Δt时刻外部所施加的结点荷载向量和相应的杆
件结点内力向量。
如果在迭代过程中采用改进的牛顿法（Modified Newton Raphson Method），且假定荷载与结构变形无关，则方程式（4－14）可以表示为增量形式
( )+Δ+Δ( 1)
Δ=
titttti
KURF
（4－15）
其中， K
t
是 t 时刻结构的切线刚度矩阵，
(i)
ΔU 是当前位移的迭代增量
tt( i)tt(i1)(i)
U =U+ΔU
+Δ+Δ
（4－16）
在分析中假定结构按比例加载，这时方程式（4－15）又可以写成
( )+Δ()+Δ( 1)
Δ=
tittitti
K UλRF
（4－17）
其中，
t t ( i)
λ
+Δ
是荷载比例系数，R 是荷载分布向量。
应用 Batoz 和 Dhatt 的两个位移向量同时求解技术，可以将方程写成下列两个
方程：
( )+Δ( 1)+Δ( 1)
Δ=
tittitti
K UλRF
（4－18）
KUR
ti
Δ=
()
（4－19）
其中
( i)(i)(i)(i)
ΔU =ΔU+ΔλΔU
tt( i)tt(i1)(i)
U =U+ΔU
+Δ+Δ
（4－20）
tt( i)tt(i1)(i)
λ =λ+Δλ
+Δ+Δ
由于方程（4－18）~（4－20）含有（N+1）个未知数
(i)
ΔU 和
(i)
Δλ ，而只有 N
个线性方程组，因此还需要给出一个含有这些未知数的约束方程
(,)0
()()
ΔΔ=
ii
f λU
（4－21）
如果将λ 和 U 的平方和作为变量，则可以得到等弧长法的约束方程，其约束
方程的一般形式为：
{( )} { } { }
{ } { } { }
2
( 1) ( ) ( ) ( ) 2
( ) ( )
T
t t i t i i i
i t t i t
U U l
U U U
α λ λ λ
+Δ
+Δ
+ Δ + Δ Δ = Δ
Δ =
（4－22）
其中： t ， t+Δt表示增量步， i， i 1表示迭代步。
选取不同的系数α 将得到不同的等弧长法，取α 为零，等弧长法的控制方程变
为：
{ } { }
{ } { } { }
( ) ( ) 2
( ) ( )
T
i i
i t t i t
U U l
U U U
+Δ
Δ Δ = Δ
Δ =
（4－23）
此时，迭代将沿着半径为 Δ l的空间柱面进行的，因此该方法被称为柱面等弧
长法，。
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